American Options: Symmetry Properties

Abstract

Une propriété utile des options européennes et américaines, dans le cadre du modèle standard de Black-Scholes, est la symétrie. Celle-ci énonce que la valeur d'une option d'achat au prix d'exercice K et à date d'échéance T est identique à la valeur d'une option de vente au prix d'exercice S, date d'échéance T dans un marché financier auxiliaire où le taux d'intérêt est d et où le titre support paye des dividendes au taux r et est valorisé à K. Cet article fait une synthèse des généralisations récentes de cette propriété et établit certains résultats complémentaires. La validité de la propriété de symétrie est établie pour une classe générale de modèles des marchés financiers qui comprend des spécifications nonmarkoviennes à coefficients stochastiques du sous-jacent. En effet, la symétrie se généralise de manière naturelle aux actifs contingents nonstandards de style américain, tels que (i) les options à échéance aléatoires (options à barrières et options plafonnées), (ii) les produits dérivés sur titres supports multiples, (iii) les produits dérivés sur temps d'occupation et (iv) les titres dont les valeurs d'échéance sont homogènes de degré v est différent de 1. La méthode de changement de numéraire, qui est essentielle pour la démonstration de ces résultats, est également passée en revue.

A useful feature of European and American options in the standard financial market model with constant coefficients is the property of put-call symmetry. This property states that the value of a put option with strike price K and maturity date T is the same as the value of a call option with strike price S, maturity date T in an auxiliary financial market with interest rate d and in which the underlying asset price pays dividends at the rate r and has initial value K. In this paper we review recent generalizations of this property and provide complementary results. We show taht put-call symmetry is a general property which holds in a large class of financial market models including nonmarkovian models with stochastic coefficients. The property extends naturally to nonstandard American claims such as (i) options with random maturity which include barrier options and capped options, (ii) multiasset derivatives, (iii) occupation time derivatives and (iv) claims whose payoffs are homogeneous of degree v is different from 1. Changes of numeraire which are instrumental in establishing symmetry properties are also reviewed and discussed.